Progresiones aritméticas Una progresión aritmética es una sucesión tal que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad constante, llamada diferencia: a2 = a1 + d a3 = a2 + d an = an−1 + d por tanto an − an-1 = d cualquiera que sea n. Por consiguiente: a2 − a1 = d a5 − a4 = d a12 − a11 = d y podemos decir que «una progresión es aritmética cuando la diferencia entre cada dos términos consecutivos es constante». Ejemplos: La sucesión 1, 3, 5, 7, 9, … es una progresión aritmética, puesto que la diferencia entre cada dos términos consecutivos es 2 en todos los casos. La sucesión 1, 5, 9, 12, 13, … no es una progresión aritmética, pues la diferencia entre los dos primeros términos es 4; y la diferencia entre los términos tercero y cuarto es 3. Por lo tanto no es constante. La diferencia, cantidad que se suma a cada término para obtener el siguiente, puede ser positiva o negativa. Decimos que: Una progresión aritmética es creciente cuando la diferencia es positiva. Una progresión aritmética es decreciente si la diferencia es negativa. Por tanto, una progresión aritmética es creciente cuando lo sea como sucesión; y es decreciente cuando, como sucesión, lo sea. Término n-ésimo de una progresión aritmética El término general de una progresión aritmética, an, se suele llamar término n-ésimo por ser n su subíndice. Veamos cómo se calcula: a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d a5 = a4 + d = a1 + 3d + d = a1 + 4d ………………………………………………………… En general: an = a1 + (n − 1) · d que es la expresión del término general de una progresión aritmética. Veamos algunos ejemplos de aplicación de esta fórmula: Calcular el 5.° término de una progresión aritmética cuyo primer término es 6 y la diferencia 3. a5 = a1 + (5 − l) · 3 = 6 + 4 · 3 = 6 + 12 = 18 a5 = 18 Hallar el término doceavo de una progresión aritmética cuyo primer término vale 5 y la diferencia es 7. a12 = a1 + (12 − 1) · d = 5 + 11 · 7 = = 5 + 77 = 82 Hallar el primer término de una progresión aritmética cuyo término séptimo es 5 y la diferencia 8. Para resolver este ejercicio despejamos a1 en la fórmula del término general: a1 = an − (n − 1) · d a1 = a7 − (7 − 1) · d = 5 − 6 · 8 = = 5 − 48 = −43